Anneaux de Fonctions p-adiques

We study first-order properties of the quotient rings 9(V)/1 by a prime ideal 9, where 9( V) is the ring of p-adic valued continuous definable functions on some affine p-adic variety V. We show that they are integrally closed Henselian local rings, with a p-adically closed residue field and field of fractions, and they are not valuation rings in general but always satisfy Vx, y(x Iy2 V y IX2). ?0. Introduction. Soit p un nombre premier et Qp le corps des nombres padiques. Soit V un ensemble algebrique irreductible de l'espace affine p-adique an et F (V) l'anneau des fonctions V -a Qp qui sont continues (pour la topologie p-adique) et definissables. On s'interesse a la theorie elementaire des anneaux quotients F(V)/0A oui 54 est un ideal premier. Le resultat principal est que les anneaux F(V)1/3? sont des anneaux locaux henseliens qui sont integralement clos, dont le corps des fractions et le corps residuel sont des corps p-adiquement clos, et qui sont presque des anneaux de valuation: ils verifient la propriety Va, b(alb2 V ba2), ou x y design la relation de divisibilite habituelle. Cet article fait suite a [B 1] oui nous avions etudie le cas d'une courbe. Les ideaux maximaux donnent alors des corps p-adiquement clos et les autres ideaux premiers donnent des modules d'une meme theorie d'anneau de valuation, a savoir celle des series de Puiseux p-adiques. Nous considerons ici la situation en general. Soit SpecF( V) le spectre premier de F( V), (Qp[V] l'anneau de coordonnees de V et Specp Qp [ V] le spectre p-adique de Qp [ V]. Notons que Specp Qp [Xi . .. , X4] peut etre identified a l'espace de types Sn (Qp) de [Pi], et que Specp Qp[ V] est un sousespace ferme de Specp Qp [XI,... , X4] de favon canonique. Notre approche repose sur un homeomorphisme entre Spec F ( V) et Specp Qp [ V], (voir [B 1], proposition 3.1). En effet, soit 54 un ideal premier de F(V) et Qap *aQp une extension elementaire suffisamment saturee, le point de SpecpsQp[V] correspondent 'a 5 peut etre represented par un homomorphisme a: Q{p[V] -* * Qp qui consiste en l'evaluation en un point non-standard x* e V(* Qp); 54 est alors le noyau de l'homomorphisme devaluation en x*, F(V) * Qp et F (V)/3 {f (x*) f E F(V)}. On utilise cet isomorphisme pour etudier les anneaux M(V)/3. Dans le ?1, on donne quelques proprietes algebriques des fonctions continues definissables, et on verifie que les anneaux F(V) sont de dimension finie gale a la dimension de V comme variety algebrique. Dans ?2 nous rassemblons les proprietes deja connues de nos anneaux et on montre qu'ils verifient la propriety Received November 29, 1993; revised August 8, 1994. Ce travail a recu l'appui financier du CRSNG et de la Fondation UQAM. (?1995, Association for Symbolic Logic 0022-48 12/95/6002-0008/$02.40